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2.3.1 离散系统稳定性与计算机控制系统稳定性问题
2012-12-01 10:46:22     我来说两句
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本文所属图书 > 计算机控制:理论与设计

本书着重介绍了计算机控制系统中控制器设计的理论与方法,涵盖了经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论的核心内容,侧重从方法论的角度介绍基于精确模型和基于非精确模型两类系统的控制器设计方法。全书共分...  立即去当当网订购

2.3 稳定性分析

与连续系统相同,计算机控制系统必须稳定,才有可能正常工作。稳定是计算机控制系统正常工作的必要条件,因此,稳定性分析是计算机控制系统性能指标分析中的一项最为重要的内容。计算机控制系统稳定性分析,其实质就是离散系统的稳定性分析问题。

2.3.1 离散系统稳定性与计算机控制系统稳定性问题

离散系统稳定性与连续系统稳定性相同,一般是指系统在平衡状态下的稳定性。对于线性时不变系统而言,无论是连续系统还是离散系统,一个系统稳定都是指该系统在平衡状态下(其输出量为不随时间变化的常数或零)受到外部扰动作用而偏离平衡状态,当扰动消失后,经过一段时间,系统能够回到原来的平衡状态(这种意义下的稳定通常称为渐近稳定)。如果不能回到原平衡状态,则该系统不稳定。线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的,而与系统外部输入信号的有无和强弱无关。

由连续系统控制理论可知,线性时不变连续系统稳定的充要条件是:系统的特征方程的所有特征根即系统传递函数的所有极点都分布在s平面的左半平面,s平面的虚轴为稳定边界,如图2-2a所示。根据s平面与z平面的映射关系z=eTs可知,s平面左半平面映射到z平面单位圆内部,s平面右半平面映射到z平面单位圆外部,s平面虚轴映射到z平面单位圆上。因此离散系统的稳定性条件为:离散系统特征方程的所有特征根即系统z传递函数的所有极点都位于单位圆内部。若有位于单位圆外部的特征根,则系统不稳定;若有根位于单位圆上,则系统临界稳定。


 

需要指出的是,计算机控制系统因其被控对象是连续系统,它的等效离散化后的闭环系统z传递函数模型与采样周期的选取有关,其极点分布也必然与采样周期的选取有关。因此采样周期的大小是影响计算机控制系统稳定性的一个重要因素。同一个计算机控制系统,取某个采样周期系统是稳定的,然而改换成另一个采样周期系统有可能变得不稳定。一般来说,采样周期越小,系统稳定性越高。采样周期对系统稳定性的影响主要是由于计算机控制系统中零阶保持器引起的,若不考虑零阶保持器的影响,则采样周期对计算机控制系统的稳定性影响不大。下面通过一个例子来说明这个问题。

例2.4 判断图2-3所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性,图中取K=1。


 

解:对象的开环传递函数模型为:


 

应用零阶保持器法得到对象的离散传递函数模型为:


 

则系统的闭环传递函数为:


 

其特征方程为1+G(z)=0,代入G(z)后得到:

z2+(T-2)z+(1-Te-T)=0

1)T=1s时,系统的特征方程为:

z2-z+0.6321=0

解方程得到特征根为:

z1=0.5+j0.6181, z2=0.5-j0.6181

因为z1=z2<1,因此采样周期T=1s时,系统是稳定的。

2)T=4s时,系统的特征方程为:

z2+2z+0.9267=0

解方程得到特征根为:

z1=-0.7293, z2=-1.2707

因为z2>1,因此采样周期T=4s时,系统是不稳定的。

若不考虑零阶保持器,于是对象的离散化传递函数模型为:


 

则闭环系统的特征方程为:

z2-2e-Tz+e-T=0

解方程得到特征根为:


 

由于z1,2=e-T/2<1,因此,无论采样周期取何值(T>0),系统总是稳定的,即系统的稳定性与采样周期T无关。

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