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9.1.1 椭圆曲线的定义
12-09-26    奋斗的小年轻
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从前面两个例子可以得到结论:可从多项式等式中得到某种类型的曲线。这里的“曲线”指该方程的解对应的点(x ,  y )的集合。例如,点(x  = r,  y  = 0) 满足此圆对应的方程,因此在这个集合中。点(x  =  r /2,  y  = r/2)不是多项式x2+y2=r2的解,因此不是这个集合的元素。椭圆曲线是一种特殊的多项式方程。密码学中使用的通常不是实数域内的曲线,而是有限域内的曲线。最常用的有限域就是素数域 GF(p ) ( 比照第4.2 节) ,其中所有的算术运算需要针对素数p 执行模运算。

定义9.1.1  椭圆曲线

Zp(p > 3) 上的椭圆曲线指满足以下条件的所有对(x, y)∈Zp的集合


 

以及一个无穷大的虚数点,其中


 

并且满足条件

椭圆曲线的定义要求该曲线是非奇异的。从地理位置上说,这意味着该曲线的图不会自我相交或没有顶点;如果曲线的判别式-16(4a3+27b2)不等于0 ,就可以保证这一点。
 
密码学应用感兴趣的是定义中给出的基于素数域的曲线。如果在Zp上画出这个椭圆曲线,则得到的从远处看不像是一条曲线。然而,这些都不能阻止我们得到椭圆曲线方程,
并在实数集合内把它画出来。

示例9.3   图9-3 显示了实数上的椭圆曲线y2=x3-3x+3

从这个椭圆曲线图中可以看出几点1:首先,椭圆曲线是关于 x 轴对称的。这个结论可以从下面事实推知:对椭圆曲线上的所有值都是其对应的解。其次,该图像与 x 轴只有一个交点。因为这是一个三次方程,y  = 0 有一个实数解(与x 轴的交点) 和两个复数解( 图中没有显示) 。与 x 轴有三个交点的椭圆曲线也是存在的。


 

现在回归到最初的目标,即找到构建离散对数问题所需的大循环群上的曲线。找到群的第一个任务已经完成,即已经定了一组元素的集合。在椭圆曲线中,这些群元素指的是满足等式(9.1) 的点。现在的第二个问题是,我们如何定义这些点的群操作?当然,该群操作必须满足第4.2 节定义4.3.1给出的群规则。

_____________________________________________________
1. 注意:椭圆曲线不是椭圆,它们的作用是确定椭圆的周长,并因此得名。  

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